東京大学 後期 1993年 第2問 (解答解説)

【解答】

(1)

三角形ABCの重心の座標を

とおく．

与えられた曲線と平行な曲線を

とおく． ここでは所与の固定値（ただし）であり，が色々変わる時のの最小値を考えれば良い． に対し とおくと，点と直線の距離公式から

なので，

とおくと，

である． を動かすと

で は最小値をとる． この時のを具体的に計算すると

だから，の方程式は

となる．従ってたしかに は の重心 を通る． よって題意は示された．(答)

(2)

並進対称性より の重心が となるようにして考えて良い． 回転対称性より の時をかんがえれば良い．

この時，残りのB，Cの座標について重心の条件から

である．

以下，なる実数を用いて

とおく． と は１対１に対応する． 従って，が最小になるようなが3つ存在する時を考えれば良い．

点と直線の距離公式から

だから，

である． (式13)および半角公式より

と書ける．ただし

とした．

(式20)が３つので最小値をとる時， が正三角形であることを示せば良い．

の時，三角関数の合成を用いて適当な実数があって

が成り立つ． から だから， は３つので最小値をとりえず不適である．

したがって が必要である．この時 から

であり，この時でによらず一定であり，つので最小値をとる．

一定で十分である．(式21)に値を代入して

第二式から または である． の時(式13)からとなり が三角形とならず不適である．

よって である．この時第一式から である． (式13)からである．

まとめると

であり は正三角形である． よって題意は示された．(答)

【解説】