東京大学後期 1994年第2問 (解答解説)

一辺の長さがの正方形の内部に半径の円が入っている．ここでとする．

この円が図のように正方形の角から出発して正方形の辺にそってすべらずに正方形の内部をころがる．ただし円が正方形の他の辺に接すればすぐにはその辺にそってすべらずにころがるとする．この円の中心が最初にもとの位置にもどってくるまでの円周上の点の軌跡を考える．

(1)　の軌跡の始点と終点が一致するためのの条件を求めよ．
(2)　は (1) の条件を満たす最小の長さとする．このときの軌跡の長さのとりうる値の範囲を求めよ．

【解答】

(1)

一辺の長さ$l$の正方形と点Pの様子 — 図 1: 一辺の長さの正方形と点Pの様子

Pは円が1周する間だけ転がる．円の半径がだから，この時のPの回転角はに等しい．また，各頂点でPの見た目の位相はずつ追加されるので，これは角がつで合計となる．したがってPが一周まわった時の総回転角は

となる． Pが一周回って元の位置と等しくなるのは，がの整数倍であることである．よってとして

と書ける．(答)

(2)

題意の条件から，(1)をみたすの最小値はの時の

である．座標において，正方形の4頂点A~Dを

とおき，がの順に動くとする．

一辺の長さ$l$の正方形ABCDと点Pの様子 — 図 2: 一辺の長さの正方形ABCDと点Pの様子

まず辺上を動く時を考える．はじめだとする．ただし

とする．円が長さだけ転がった時のPの位置ベクトル

だから，この時のPの軌跡の長さは

である．

PがBからCへ移動する時はをでおきかえて，この時のPの軌跡の長さは

である．同様にPがCからDまで移動する時の軌跡の長さはをで，DからAまで移動する時の軌跡の長さはをでおきかえたものだから

である．よって，合計の軌跡の長さは

である． (式15),(式17)を代入して

を得る．

と変数変換して

また，ここで簡単のため

とおいた．

は周期の周期関数だから，で考えれば良い．この時ではであって，の値はの値によって変化する．三角関数の合成を用いてを変形すると

を得る．

以下，が変化した時のの最大・最小を求めればよい．のによる一階微分は和積公式を用いて

と計算できるから，の増減表は表1となる．

表 1: の増減表

したがって，最大値は又はの時にとる．最小値は又はの時にとる．

$y=8|\sin t|+8|\cos t|$の概形と$L$を面積と見立てた際の領域（$p=\pi/8$の場合の例）． — 図 3: の概形とを面積と見立てた際の領域（の場合の例）．

ここでは，とx軸の囲む面積でグラフは図3だからの時よりの時の方がLは大きく，の時よりの時の方がLは小さい．したがって

でLは最大
でLは最小

である．

\textbf{1° の時}

この時は

であり，は半角公式より

と計算できるから，代入して

を得る．

\textbf{2° の時}

この時は

である．

以上(式39),(式42)及びは連続して値をとることから，求める長さの範囲は

である．(答)

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東京大学後期 1994年第2問 (解答解説)

【解答】

(1)

(2)

【解説】