東京大学後期 1995年第2問 (解答解説)

平面上に2点, があり，との距離は1であるとする．このとき，次の(条件)を満たす三角形の面積の最大値を求めたい．

(条件) 三角形は与えられた平面上にあり，各頂点, , からまでの距離またはまでの距離のうち，少なくとも一方は1以下である．

を中心とする半径1の円周を, を中心とする半径1の円周をとする．上の(条件)の下で最大面積をもつ三角形の頂点, , はそれぞれまたはの上にあることを示せ．
この二つの頂点, は円周上にあるとして，この円の中心から弦におろした垂線の長さをとする．を固定したとき，(条件)を満たす三角形の面積が最大となるならば，直線と直線は直交することを示せ．
(条件)を満たす三角形の面積の最大値を求めよ．

【解答】

だから， , とし, が平面にあるとする. (条件)をみたす時, は図1の斜線部分内にある.

もしが図1で斜線部で, 境界を含まない部分にあるとするとからに下ろした垂線ととの交点のうち, 垂足との距離がよりも大きいものが存在しとなる. したがって, が最大の時, は又はにある. 他の頂点についても同様のことがいえるから題意は示された.

(答)

Pを固定した時, ABにPから下した垂足をHとする. Hは上を動く. この時三角形PAHを考えると

で一定である．

従って，この時E，F上でABからの距離が最大の点がCの時, は最大である. そこでに対して

と置く．

点CがE，F上でABからの距離が最大のとき，点Cでの円の接線の法線ベクトルも

である．このような点はE上に2点, F上に2点あるので，E上のものを，F上のものをとするとについて

であり，については(式4)より

として良い．と線分ABの距離をとすると

である．およびから，(式5),(式8)のうちで最大のものはにおいてとして時で

である．

この時，よりとなって，確かにである．よって題意は示された． (答)

(2)の結果からを固定した時にを最大にするのは図3のようにHが軸上に存在する時である．

この時の面積として，

である．以下この最大値を求める．が最大の時も最大だから，の増減表を書く．一階微分は

より，表1を得る．

表 1: の増減表．

したがって，およびはで最大値

をとる．

(2)の別解を紹介する． ABとPQのなす角をとする. ABと平行に, Fの接線を引き, 接点をCとする. 右図から, ABとCのキョリは

から, が最大になるときが最大で . (了)