東京大学 後期 2000年 第2問 (解答解説)

【解答】

以下 とおく．

(1)

を軸まわりに回転した立体の体積は

である．各項計算すると，まず

である．次に二項目は部分積分法により

だから，挟み撃ちの定理より

である． (式5),(式5)を(式3)に代入して

が求める極限値である．(答)

(2)

の を 軸まわりに回転した体積は， が十分小さい時 高さ ，幅 ，長さ の直方体で近似できるので（バームクーヘン公式）

と表せる． ここで

とおくと， (式15)から

である． で の最大，最小を与える を各々 とすると， から

である． 両辺の積分は と置換して

と評価できるから，(式18) に代入して

となる．これを について和を取って(式17)より，

となる．両辺のでの極限値は，区分求積法より

と同じ値に収束するから， だから (式25) 及びはさみうちの定理から

が求める極限値である．(答)

【解説】