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東京大学 後期 2001年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 後期 2001年 第2問 (解答解説)

📝 問題

  1. 図 1 のように，等間隔 で格子状に互いに直交する 2 組の無限の平行線が引いてある平面が与えられている．その上に半径 1 の円 を無作為に落とすとき，この円 がちょうど 2 本の線と交わる確率 を求めよ．

  2. 図 2 のように，半径 の円が重複なく，かつ隣り合う円と接して無限に敷き詰められた平面がある．この上に半径 1 の円 を無作為に落とすとき，その円 が平面上のちょうど 3 つの円と交わる確率 を求めよ．ただし，解答にあたり次のことを用いてよい．

    平面上に共に始点 を始点とする一次独立な 2 つのベクトル を考え，点 と の 3 つのベクトルの終点の 4 点を頂点とする平行四辺形を とする． の領域 に対して， を と の整数係数の一時結合 によって平行移動したものの全体を とする．即ち記号で書くと

    とおく．ここで は整数全体の集合を表す．

    このとき平面に 1 点を無作為に落とすとき，その点が に落ちる確率は，平行四辺形 の面積に対する領域 の面積の比になっている．

図1

図 1: 図1

図2

図 2: 図2

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

座標系と格子

図 1: 座標系と格子

図1のように座標を定めて円の中心をとおく． ここで格子の方程式が

となっている．

格子の間隔が軸方向に等しいことから，円が2直線とのみ交わるときx軸平行及びy軸平行と1本ずつ交わる． また，の時は必ず3本以上の直線と交わるため以下

として考える．

考える領域$D_{0,0}$の様子

図 2: 考える領域の様子

格子は として

なる領域（いずれも合同）の集合とみなせるから，このうちの一つ 中に円の中心がある時のみを考えれば良い． この時円が の２本の格子と交わり， の格子と交わらなければ良い． このようなX,Yの条件は，円の半径がだから，

となる．

$h$のとりうる領域

図 3: のとりうる領域

(式3)と合わせて， でのの挙動を示した図から，この条件は

である．

の面積に対する(式6)の領域の面積が求める確率であって，(式2)と合わせて

である．(答)

(2)

座標平面に半径$\sqrt{2}+1$の円を敷き詰めた様子．

図 4: 座標平面に半径の円を敷き詰めた様子．

(1)と同様に一つの円の中心が原点となるように座標平面をおく． この円と隣り合う円のうち，一部が第一章限にある二つの円の中心までの位置ベクトルをとすると

である．

$D$は三角形OABの内部である．

図 5: は三角形OABの内部である．

(1)と同じく，座標平面はの張る三角形によって埋め尽くすことができるから， その一つである領域

の内部に円の中心 がある時のみを考えれば良い． この時Cの半径がだから，Cは図5の3円とのみ交わりうる． したがって，Cが3円とのみ交わることはこれら全ての円と交わることと同値である． 3円の中心をO，A，Bとして，中心同士の距離を

とおくと，このような条件は

である． 各辺正だから2乗してよく，

を得る． これをみたすの領域は図6の斜線部である．

$P(X,Y)$の領域は斜線部

図 6: の領域は斜線部

この領域の面積は

図形

と書ける．そこでこれらの扇形SUと正三角形STUの面積を求める．

扇形SUの様子

図 7: 扇形SUの様子

簡単のため

とおく． 点Sの座標はだからであり， 対称性から扇形SUの見込む角度はである．

従って

図形扇形

である．

次に正三角形の一辺の長さとおくと

だから，この面積は

である．

(式21),(式27)を(式17)に代入して

を得る．

一方で領域の面積は

の面積

である．ただしし最終行で(式18)を用いた．

問題文で与えられている確率の求め方を利用して，求める確率は領域の面積に対するの比率であって，

の面積

である．(答)

【解説】

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