東京大学 後期 2001年 第2問 (問題)

図 1 のように，等間隔 で格子状に互いに直交する 2 組の無限の平行線が引いてある平面が与えられている．その上に半径 1 の円 を無作為に落とすとき，この円 がちょうど 2 本の線と交わる確率 を求めよ．

図 2 のように，半径 の円が重複なく，かつ隣り合う円と接して無限に敷き詰められた平面がある．この上に半径 1 の円 を無作為に落とすとき，その円 が平面上のちょうど 3 つの円と交わる確率 を求めよ．ただし，解答にあたり次のことを用いてよい．

平面上に共に始点 を始点とする一次独立な 2 つのベクトル を考え，点 と の 3 つのベクトルの終点の 4 点を頂点とする平行四辺形を とする． の領域 に対して， を と の整数係数の一時結合 によって平行移動したものの全体を とする．即ち記号で書くと

とおく．ここで は整数全体の集合を表す．

このとき平面に 1 点を無作為に落とすとき，その点が に落ちる確率は，平行四辺形 の面積に対する領域 の面積の比になっている．