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東京大学 後期 2001年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 後期 2001年 第1問 (解答解説)

📝 問題

任意の自然数 に対して，常に不等式

が成立するような最大の整数 を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

表現の簡潔さのため

とおくと，

である．さらに

とおく． の評価をすることで，題意の不等式が成り立つを求める．

まずのグラフの概形を調べる． 一階，二階微分は

だから，は下に凸で，

だから，のグラフは図1のようになる．

$y=g(x)$のグラフの概形．

図 1: のグラフの概形．

面積を比較するため，

とおくと，(式3)に注意しての示す面積は図2の斜線部である． 以下として考える．

$S_n$の面積を図示したもの．

図 2: の面積を図示したもの．

$f_n$の上からの評価．斜線部の面積が$f_n$を表し，グレーアウトの部分が$S_n$を表す．

図 3: の上からの評価．斜線部の面積がを表し，グレーアウトの部分がを表す．

従って，まず図3から，を上から評価すると

である．

$f_n$の下からの評価．斜線部の面積が$f_n$を表し，グレーアウトの部分が$S_n$を表す．厳しく評価をするため，$f_n$の上の三角形部分も評価に含める．

図 4: の下からの評価．斜線部の面積がを表し，グレーアウトの部分がを表す．厳しく評価をするため，の上の三角形部分も評価に含める．

次に図4での三角形部分の面積が

だから，

である．

以上(式10),(式14)をまとめて

である．よってより

である．以下これを評価する． まずは

だから，

となる．

ここで新しく

とおくと，

よりではは単調減少である． そこででの(式18)の両辺の振る舞いを考えると，

だから，

である．ここに

を代入して

である．

だから，

および

だから，

である．

従って，任意の自然数でを満たすためには，

が必要．

また，の単調減少性から，

だから，であれば常にを満たし十分である． 以上から求める最大のは

である．(答)

【解説】

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