東京大学 後期 2002年 第1問 (解答解説)
📝 問題
実数全体で定義された関数
-
の増減・凹凸を調べ のグラフの概形を図示せよ． -
正の数
に対して と 軸，および で囲まれた領域を とする． を 軸のまわりに回転させて得られる立体の体積を とおくとき を求めよ．
-
の における最大値を とするとき と 軸，および で囲まれた領域を とおく． を 軸のまわりに回転させて得られる立体の体積 を求めよ．
✏️ 解答解説
【解答】
(1)
だから，増減表は表1となる．
| 0 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
表 1:
また，極限値および極値は以下のとおりである．
従って，グラフの概形は図1である．
図 1:
(2)
題意より
であり，積分部分を評価して
だから，
が求める極限値である．
(3)
図 2: 斜線部が回転する領域
(1)より，
とおくと
である．
である．各項積分すると
だから，(式18)に代入して
が求める体積である．