東京大学 後期 2000年 第1問 (解答解説)

【解答】

（1） の時

題意よりは一次式であって，全てのに対して

が成立する． としてを代入すると

だから，漸化式を繰り返し用いて任意の自然数に対して

である．は一次式だからをで置き換えて

である．(答)

の時

題意よりは二次式であって，全てのに対して

が成り立つ．の時と同様，自然数に対してを代入して

だから，漸化式を繰り返し用いて任意の自然数に対して

である．は二次式だからをで置き換えて

である．(答)

（2） (1)と同様に一般の，および自然数に対して

だから，漸化式を繰り返し用いて任意の自然数に対して

である． 題意を示すには，(式17)をみたす次多項式が唯一存在することを示せば良い． 証明は数学的帰納法による．

(1)から，の時は成立するため，以下の成立を仮定する． 二項定理より

だから，として足し合わせて

である．ただし最後の行の二項目で仮定を用いた． 整理して

だから，

は(式17)を満たす． これが任意ので成立し，かつは題意より次式だから，は をで置き換えて

とかけることが必要である．

このが実際ただ一つであって，次多公式であり，かつ条件(C)を満たすことを示そう． 仮定よりについては成立しているから，第三項は次以下である．第一項が一番次数が高く，よっては次多項式である． 同様に第三項はただ一つ存在するから，もただ一つ存在する．

最後に条件(C)について考える．一つ目の条件は

より満たされる．ただし3行目で二項定理によりを展開した．

次に，二つ目の条件は(式27)にを代入して，仮定より

より満たされる．

以上より(式27)のは条件(C)をみたす． 以上からでも題意は成立する．

よって，数学的帰納法より，任意のに対して題意が示された．(答)

(3)

題意の条件から次多項式はを零点に持つので，因数定理よりとして

とかける．だから，を代入して

だから，(式38)に代入して

である．

さて，は共に次多項式だから， をでわった商は定数とおけ, あまりは次以下の多項式になる． すなわち

と書ける． さらにをでわった商は定数, あまりは次以下の多項式になる． すなわち

と書ける．以下次以下の多項式を次多項式で割った商を定数，あまりを次以下の多項式とおく． 最後は定数だから，分かりやすいようにこれをと書く． この式を繰り返し用いて，

を得る．

従って，題意を示すには，

の二つの条件を示せば良い． まず(式47)について， 条件(C)よりであり，また(式41)よりも従う． これらを(式45)に代入してであるから示された．

よって(式45)は

と書き直せる．このもとで(式46)を示す． 自然数に対してを代入すると

であり，左辺は(式17)を代入して

である． 右辺は(式41)より，

であることに注意すると，に対して

である．以下数学的帰納法によりが整数であることを示す． の時は

より，は整数である． 次にの時は

であり，が整数ならば，も整数である． 以上より帰納的には整数である．

従って題意は示された．(答)

【解説】