東京大学 後期 2000年 第3問 (問題)

背番号 1 から 5 までを順に付けた 5 人が, 何も置かれていないテーブルに向かっている. 最初 5 人は各自 3 枚のコインを持っている. それを背番号順に必ず 1 枚または 2 枚テーブルの上に置いてゆく. ただし, 手もとに 2 枚以上のコインがあるときに 1 枚だけコインを置く確率を とし, は人によらず一定とする.

背番号 5 の人が置き終わったところ (一巡目が終わったところ) で, 再び背番号 1 の人から順に手もとに残ったコインをテーブルに置いてゆく.

1. 一巡目が終わったとき, テーブルの上に 7 枚のコインが置かれている確率 を求めよ. また, その を最大にする の値と, そのときの の値を求めよ.

2. 一巡目を終えるとき, 背番号 5 の人が, テーブルの上に 7 枚目のコインを置く確率 を求めよ. また, その を最大にする の値を求めよ.

3. 二巡目が終わったときのテーブルの上のコインの数の期待値を求めよ.