東京大学後期 2003年第3問 (解答解説)

全てのについてであるような数列が与えられたとして数列に関する漸化式

を考える．このとき，自然数を一つ決めて固定すれば，漸化式（A）を満たし，，であるような数列がただ一つ存在することを示せ．また，この数列についてが成り立つことを示せ．ただしは以上とする．
数列と正の定数が与えられ，すべてのについてが成り立つと仮定して，数列に関する漸化式

を考える．このとき，自然数を一つ決めて固定すれば，漸化式(B)を満たし，，であるような数列がただ一つ存在してが成り立つことを示せ．ただしは以上とする．
をより大きな定数として，全てのについてが成り立つと仮定する．このとき，から決まるによらない正の定数でを満たすものが存在し，(1)で得られた数列はを満たすことを示せ．

【解答】

より，漸化式を用いるとのとき

となり，以下帰納的にはと比例係数を用いて

と表せる．

の時は従って全てのに対してとなり題意のを満たさず矛盾するから，以下

として考える．

漸化式の両辺をで割って

だから，(式3)の初期条件のもとでが一意に定まる．従って題意の条件を数列が満たすには

とすればよく，従ってこのような数列はただ一つ存在する． (答)

次にこの数列についてであることを示す．そのため，まずであることを数学的帰納法により示す．

の時はよりが成立する．そこででの成立を仮定しての時を考えると，漸化式(式5)より

である．ただし最後の行で仮定を用いた．

従っての時もが成立するから，数学的帰納法により任意の自然数に対して

である．これとから

である．両辺をで割って，および(式3)より

である．よって題意は示された．(答)

(1)との違いは，漸化式のの係数が異なる部分のみである．従って，ほぼ全て(1)の議論が流用できる．

より，漸化式を用いるとのとき

となり，以下帰納的にはと比例係数を用いて

と表せる．

の時は従って全てのに対してとなり題意のを満たさず矛盾するから，以下

として考える．

漸化式の両辺をで割って

だから，(式19)の初期条件のもとでが一意に定まる．従って題意の条件を数列が満たすには

とすればよく，従ってこのような数列はただ一つ存在する． (答)

次にこの数列についてであることを示す．そのため，まずであることを数学的帰納法により示す．

の時はよりが成立する．そこででの成立を仮定しての時を考えると，漸化式(式21)より

仮 定

である．ただし最後の行でを用いた．

従っての時もが成立するから，数学的帰納法により任意の自然数に対して

である．これとから

である．両辺をで割って，および(式19)より

である．よって題意は示された．(答)

から，は(1)の条件を満たす．従って，(式13)が使える．漸化式(式5)から，

式

である．ここで

とおくと，からである．不等式(式35)を繰り返し用いて，に対して

である．両辺にをかけて，より

である．よって題意は示された．(答)