東京大学 後期 2006年 第2問 (解答解説)

【解答】

(1)

まずはの方程式を求める． 原点，，上の点，Pの軸への射影とする． 題意の条件から，と軸のなす角がである． 従って

を得る．だから両辺 2乗して整理すると

なる円錐側面の方程式を得る．

従って，この図形を軸周りに一回転してできる立体の体積を求めれば良い． 図形の対称性から，のうちの部分を軸周りに回転してできる立体の体積とすると

である． そこでにおける切断面を考えると (式3)にを代入して

を得る．これは双曲線の方程式であり，図示すると図3となる．

この図形は軸に関して対称である．また，図形の端点を

とおくと，この図形を軸周りに回転した図形は，外側を半径，内側を半径とする二つの円で囲まれば部分である． この面積とすると

となる．を利用してさらに整理すると

となる．

従って，は

となり，(式4)に代入して

を得る．(答)

(2)

を(式15)に代入して，これをとおくと

だから，一階微分は変形するとのみでかけて，

となる．従って，の範囲で

を満たすようなを用いて，の増減表は表1となる．

したがってが最大値を取るのはの時で，この時

である．(答)

【解説】

解答中では律儀に円錐の方程式を求めたが，実際にはここまでしなくても良いだろうと思う． の切断面の概形がわかっていれば，回転した時の面積はと図から判断が着くのでその程度の記述でも大丈夫だと思われる． この場合，およびの座標は幾何学的あるいは座標計算から求まるため，わざわざ円錐の方程式は不要，というわけだ．

また，円錐側面の方程式は，以下のような導出の方が簡単だろう． すなわち，の方程式はと固定した時，半径の円が現れるから，

となる．