東京大学 後期 2007年 第1問 (解答解説)

【解答】

(1)

曲線 を 平面に図示すると図1のようになる．

両辺で割ってからで微分すると，微分の連鎖律より

だから， におけるの接線 は

である． 従って，これとの交点の座標はの方程式と連立した方程式の解である． がを満たすこと， および接線の性質からこの方程式がを重根として持つことに留意して式変形を進める．

ここで，とおくと

となり，の座標は

である．この時の座標はより

である．

次に，でのの接線はをで置き換えればよく， (式12)と同様の議論によっての座標は

である．この時の座標はより

以上(式13),(式14),(式15),(式16)より求める座標は

である．(答)

(2)

まず三角形の面積を求める．(1)の結果から

だから，サラスの公式からは

である．

次にを求めるために，曲線と線分で囲まれる面積をとすると

である．

図3のようにから軸におろした垂線をとおくと

であるから， (式26),(式31)を(式27)に代入して

である．従って求める比は

である．(答)

(3)

(1)より の傾きは , の傾きは だから， となる条件は

ここに(式14)を代入して題意よりに注意すると

である．(答)

(4)

(3)の条件が満たされるとき，つまり の時， 円周角の定理より の外接円の直径は線分の長さと等しく， (1)で求めたの座標を利用して

を得る． ここに(3)の結果に代入すると

である． 従って外接円の面積は

である．(答)

【解説】

(1)

時間短縮になるか微妙なところだが，問題がを基軸として答えを出すように要求しているので最初からの形で変形していくことも考えられる．

より， における接線 は

である．したがって，これと の交点の 座標は

の解だから， の 座標は である．

さらに，この点で の接線 についても同様にして， のとき，.

の 座標は である． の 座標は である．