東京大学 後期 2007年 第3問 (解答解説)

【解答】

(1)

とおく．題意より数列は以下の初期条件，漸化式を満たす．

これは与えられた数列を番目で二分して，数字の若い方の平均を，数字の大きい方の平均をとする処理である．

さて，題意

を帰納法で示す．

の時は(式1)から成立するので， 以下での成立を仮定して，での成立を示す． の偶奇で場合分けする．

\textbf{1° の時}

まず，については(式3),(式4)から だから仮定より

が成立する． ついでについては(式2)から

だが，仮定より

だから が成り立つ．従って

となり，でも(式5)が成立する．

\textbf{2° の時}

まずについて(式2)より

だから仮定と合わせて

である．

ついでについて(式3),(式4)より

であって，題意よりはを満たすから

である．ここでとの等号成立条件は

だが，これはより実現し得ないので等号は不成立で

となる．よってでも題意は成立する．

以上二つの場合わけで全てが尽くされ，いずれの場合でもでの仮定の成立が示された．

従って数学的帰納法により，(式5)が任意の自然数で成立する．

(答)

(2)

の偶奇で場合分けしてを示す．

\textbf{1° の時}

この時(式2)よりだから

とかけて，差分を取ると

を得る．

ここでの2次方程式

を考える． を代入して

だから，これはで最小値をとり，(式21)の第一項目は

より正となる． 同様に

とおくと第二項目にも同じ議論が適用できて正だから，全体として(式21)は正，すなわち

である．

\textbf{1° の時}

漸化式(式3),(式4)よりだから

であり，両式の差分を取るとほとんどの項はキャンセルアウトする． との大小に応じて以下のように書ける．

さて，ここでとの大小について考える． の定義により

又(2)から だから，(式32)の右辺はいずれの場合も以上である． 従って

である．

従って以上の場合わけで全ての場合が尽くされ，いずれの場合もであることが示された． よって題意は示された． (答)

(3)

(2)で得られた不等式でとして

となる．

一方で， はいずれも有限個の値をとるので，も有限個の値をとる． 従って，(式35)を満たすにはあるがあって，

となる必要がある． に制限をかけても題意の証明には影響がないので， は4以上の偶数としても良い．

この時以上の整数に対して題意が成立することを示す． の偶奇によって場合わけする．

\textbf{1° の時}

漸化式(式2)からである． また，(2)の場合わけでが偶数の場合の の等号成立条件より， である．よってこの場合は題意が示された．

\textbf{2° の時}

が偶数であること，およびより，は以上の偶数である． 従ってに対して1°を適用して

である．は奇数だから，再び漸化式(式3),(式4)から である．以上から

である．

従っての定義より，

となる．よってが奇数の場合も題意は成立する．

従って以上の場合わけで全ての場合が尽くされ，いずれの場合も題意が成立することが示された．(答)

【解説】