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京都大学 前期 1970年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1970年 第2問 (解答解説)

📝 問題

数学的帰納法によって， を証明せよ． ここには2以上の整数とする．

✏️ 解答解説

【解答】

与えられた不等式

を数学的帰納法により示す．両辺正だから自然対数をとって

を示しても良い．

の時(式1)は から成立する.

そこで での成立を仮定してについて検討する． を計算すると

だから，

とおくと

である．ここでなる実数に対してを示そう． 一階微分を計算すると

であり，再度微分して

より は単調減少である. これと より だから, は単調増加である． よって の時

だからなる整数に対して である．

表 1: の増減表 ()

$y=g(x)$ のグラフと漸近線 $y = 1 - \log 2$

図 1: のグラフと漸近線

(式6)と仮定から，となってでも(式1)は成立する．

以上より数学的帰納法により題意は示された.

【別解】

解答ではの時，対数をとった不等式を示したが，直接(式1)を使う方針も考えられる．

仮定

だが， のときには2項定理から第一項を展開できて

だから，

である．よってでも題意は成立する．

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