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京都大学 後期 2005年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 後期 2005年 第4問 (解答解説)

📝 問題

四面体において，三角形の重心をとし，線分をに内分する点をとする． また，直線と面との交点を，直線と面との交点を，直線と面との交点をとする． このとき，三角形は三角形と相似であることをしめし，相似比をであらわせ．

✏️ 解答解説

【解答】

四面体OABCとA'B'C'の様子

図 1: 四面体OABCとA’B’C’の様子

点Xに対し, と表すことにすると は四面体をなすから1次独立である．

三角形ABCの重心Gの位置ベクトルは

だから，線分OGをで内分する点Pの位置ベクトルは

である．

次にA’について考える． A’はAP上の点だからとして

とおける． 一方でA’は平面OBC上の点だからとの重ね合わせでかけ，の成分はあってはならない． 従って，の係数比較すると，

となり，

と書ける．

同様にB’およびC’について

であるから， 三角形A’B’C’の各辺の長さについて

となるから， たしかに で，相似比は

である．(答)

【解説】

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