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東京工業大学 前期 1966年 解答解説 このページの閲覧数
#図形と方程式
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東京工業大学 前期 1966年 第1問 (解答解説)

📝 問題

  1. 円の中心と異なる点がある． この円の半径をとし，線分またはそのをこえる延長上に1点をとり， となるようにする． このとき点の座標を求めよ．

  2. 問(1)において点が軸の全体を動くとき， 対応する点はどんな図形をえがくか．

✏️ 解答解説

【解答】

題意の円を とおく．円の方程式を平方完成すると

だから, 円の中心はであり，円の半径は である． よって

と書ける．

円と点$P,Q$ の様子

図 1: 円と点 の様子

題意より とおけることより，題意の条件は

と書ける． より であって

と求まる． 一方でだから

である． 成分を比較して

が求める座標である．

(2)

の時の(式7)の軌跡を求めれば良い．(式7)にを代入して

である．第二式よりだから，第二式を変形して

だから，これを第一式の分母に代入して

となる．これを再度(式7)の第二式に代入してを消去すれば

を得る．

の時のの値域については(式8)より

である．よって(式14)の範囲では である．

以上から求める軌跡は

を除く

である．

点$Q(X,Y)$の描く軌跡 $(X-2)^2 + (Y-1)^2 = 4$（除外点 $(2,-1)$）

図 2: 点の描く軌跡 （除外点 ）

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