東京工業大学 前期 1966年 第5問 (解答解説)

なるがある時

対称性から として考える．題意より だから である． 題意の条件から

だが，左辺は非零なのでではあり得ず

となる．対称性からの時を考えよう． さらに題意の条件から

である．が互いに異なるのでが解である．以上から

であることが必要である． この3数は題意の条件を満たして十分である．

全てのが非零の場合

この時 であり, 題意から が必要である．まずこれを示そう． 題意よりがのいずれかに等しいから，これを繰り返し用いて任意の自然数に対してものいずれかに等しい．ところがよりの時ははに収束または無限大に発散してしまいと同じにならない．従ってが必要である．についても同様だからである．

この元で題意の条件

を満たすを考えよう．

or の時は or となる． 対称性から とする． この時, より, 題意のその他の条件は

となり,

を得る．逆にこの時題意の条件は全て満たして十分である．すなわち

は解の一つである．

最後に, (式7) において の時, (式10)の場合をのぞいて, として良い． この時同様に

となるしかないから，辺々かけて,

である．両辺 でわって,

となる．(式11)を代入して

だが，これは仮定（およびが互いに異なる）に反するので矛盾．