東京工業大学 前期 1962年 第4問 (解答解説)

【解答】

与式を とおく．式を少し整理すると

とかける．そこでまずを固定してを動かして最大最小を求めた後，を動かして全体の最大最小を求める．新しくに依存する部分だけを取り出して

とおくと，コーシーシュワルツの不等式からは

を満たす．左側の等号成立条件は

であり，右側の等号成立条件は

である．

よって，の符号に応じてを固定した時のの最大最小値は以下のように与えられる． ただし三角関数の合成により

と書けることを利用した．

この様子を図示すると以下のようになる．

従って最大最小を与えるは以下のようにまとめられる．