東京工業大学 前期 1961年 第4問 (解答解説)

【解答】

() とおくと，与えられた図形は以下のようになる．

題意の2円の方程式は

で与えられる．対称性から， の 座標が正である時のみを考えよう． 題意より，各円の中心から点に向かう角度は等しいので，これを図のように とおく． また簡単のため とおく． 点における円の接線はそれぞれ

で与えられる．これら二つの直線が等しいから定数項を比較して

を得る．よりだから

であって，点の座標は

と書ける． よって線分 の中点 は

と書ける．の座標が負の場合は同様に

だから，(式4)よりであることと合わせて

が求める軌跡である．

【解説】

軌跡を求める問題で素直に立式していけば解ける．出てきた答えが正しそうなことはの極限を考えると割と理解しやすい． まずの極限，すなわち右側の円が潰れる時は中点はであり，逆にの時はである． 一方の時すなわち二つの円がそれぞれ半径の時ははである． 出てきた楕円の方程式はこれらの場合を全て満たしているから，そんなに外してなさそうだということがわかる．