東京工業大学前期 1961年第5問 (解答解説)

【解答】

とおくと，具体的なの表式から

である．与えられた不等式はを用いて

と書ける．右辺に(式1)を代入して

だから左辺との差をとると

となる．これが非負になる条件を求めれば良い．

この式はの時はであり与えられた不等式(式2)は成り立つ．の時はだから両辺で割ると

が任意のに対して成り立てば良い．そのためにはの判別式としてであれば良い．

だから，求める条件は

である．

最後の条件にが出てこないのは自然で，はの定数項だから，元の不等式で左辺でまで積分したものの倍と，右辺で,まで積分したものの和は等しくなって必ず打ち消しあうので条件として現れない．

途中で出てきた式(式2)はまさに凸不等式であり，要するにが下に凸である条件を求めれば良い．以下その方針にたった解答を示す．こちらの方が数学的な背景がわかってる感があって綺麗だろう．

が下に凸なための条件は2階微分が非負であること，すなわちである．実際計算すると

だからの判別式

が非正であればよく，

が求める条件である．