東京工業大学 前期 1961年 第1問 (解答解説)

【解答】

定数, の条件

に注意する．2変数に対して方程式

を考えると，(式2)よりは解であり，平面上でこの直線はを通る． これを図示したのが下図である． (式1)より，この直線はおよびなる正方形（以下これをとおく）と点のみ共有することに注意する．

さて，, とおいて題意のように方程式がに対して成立すると仮定すると，この直線は二つの点

も通過する．ここで三角関数の性質から

なので，直線との共有点の議論から，点が直線上であるためにはこの2点がである必要がある．

したがって，

だから，整数 を用いて

と書ける．

ここで と仮定すると， から となりが無理数となる仮定と矛盾するから，背理法によりである．

同様に だから題意は示された．