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東京工業大学 前期 1961年 解答解説 このページの閲覧数
#方程式・不等式
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東京工業大学 前期 1961年 第6問 (解答解説)

📝 問題

すべてのに対してなるとき，

  1. 方程式がただ1つの実根をもつことを証明せよ．

  2. この実根をとするとき，無限数列が

    を満たすならば

    が成り立つことを証明せよ．

✏️ 解答解説

【解答】

与えられた条件

の両辺を不定積分して

である．ただし, は積分定数である．

(1)

とおくと(式1)より だから は単調減少である． さらに，(式2)の両辺からを引くと

だからはさみうちの定理から，

となる．

は連続関数だから以上の事実より はただ1つの実解を持つ．

(2)

題意の条件より である．従って与えられた漸化式の両辺からこの式を引いて

と書ける．

以下場合分けして考える． まず なる がある時，(式6)から をみたす に対して， だから， である．

その他の場合平均値の定理から， をみたす がある．(式1),(式6)より

だからくり返し用いて，

を得るから，挟み撃ちの定理から

である．

以上から題意は示された．

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