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京都大学 前期 2014年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 2014年 第6問 (解答解説)

📝 問題

双曲線の第1象限にある部分と， 原点を中心とする円の第1象限にある部分を， それぞれ，とする． とは2つの異なる点，で交わり， 点におけるの接線と線分のなす角はであるとする． このとき，とで囲まれる図形の面積を求めよ．

✏️ 解答解説
【自動文字起こし・要確認】

【解答】

とする．まず，が2点で交わる条件から

①

である．2交点，（）とおくと，対称性から

②

となる．次に，がを通る条件から

③
円弧$C_2$と曲線$C_1$の交点，接線$\ell$と求める領域

図 1: 円弧と曲線の交点，接線と求める領域

における接線の傾きはである．（はと軸の交点）という条件のもとで角の関係を整理し，とおくと

④

を得る．ここで，③の両辺にをかけて整理すると

⑤

④，⑤から

であり，

であり，⑤を代入して，

から複号正を採用して，

，（①を満たす）＊

だから，から，⑥である．題意の面積として

扇形の面積と線分に囲まれた部分の面積⑦

であり，

面積計算に用いる扇形と曲線下の領域

図 2: 面積計算に用いる扇形と曲線下の領域

扇形，と線分に囲まれた部分

を代入して，＊，⑦から

．

\bigskip

【別解】

対称性から，の方をとする．とする（）．での接線の傾きはであり，と軸の交点をとして，となる．（ の傾き符号）から題意の条件はである．この時となる．

だから，

以下，，とする．

（扇形）（に囲まれた部分）．
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