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京都大学 前期 2006年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 2006年 第5問 (解答解説)

📝 問題

に対し，辺上に点を，辺上に点を，辺上に点を，頂点とは異なるようにとる． この3点がそれぞれの辺上を動くとき，この3点を頂点とする三角形の重心はどのような範囲を動くか図示せよ．

✏️ 解答解説

【解答】

$\triangle ABC$の各辺上を動く点$P,Q,R$と$\triangle PQR$の重心$G$

図 1: の各辺上を動く点との重心

点に対してとおく． 題意の点はをを満たす実数として

，，

とおける．の重心をとすると

である．

ここで，，とおくと，が独立に動くことから，は頂点

を持つ六角形の内部（境界含まず）を動く．

$(\lambda,\mu)$平面における動く範囲（斜線部，境界含まず）

図 2: 平面における動く範囲（斜線部，境界含まず）

よって(式2)は各辺を，に内分する6点を頂点とする六角形の内部に対応する． 図示すると下図斜線部（境界含まず）となる．

三角形$ABC$内で三角形$PQR$の重心$G$が動く範囲（斜線部，境界含まず）

図 3: 三角形内で三角形の重心が動く範囲（斜線部，境界含まず）

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