アーカイブ一覧へ戻る
京都大学 前期 2005年 解答解説 このページの閲覧数
前の年度 2004年 次の年度 2006年
🧭 2005年度の関連ナビゲーション:
第1問 (問題) 第1問 (解答) 第2問 (問題) 第2問 (解答) 第3問 (問題) 第3問 (解答) 第4問 (問題) 第4問 (解答) 第5問 (問題) 第5問 (解答) 第6問 (問題) 第6問 (解答)

この問題のOpen Issue（0件）

GitHubで確認 ↗

この問題に紐づくOpen Issueはありません。

情報取得：。最新の状態はGitHubで確認できます。

京都大学 前期 2005年 第5問 (解答解説)

📝 問題

を正の整数とし，の範囲で定義された2曲線 ，を考える．

  1. とは共有点を持つことを示し，その点におけるの接線は点を通ることを示せ．

  2. との共有点はただ1つであることを証明せよ．

✏️ 解答解説

【解答】

$C_1:y=\cos x$ と $C_2:y=\dfrac{1-x^2}{1+x^2}$ の概形

図 1: と の概形

とする． 与えられた曲線

について考える．

(1)

は区間内で単調減少でである． 一方で

も単調減少で，を考えると

に対して

，

となるから，なるがある． よって，の共有点が存在することが示された．

におけるの接線は

で表せる．ここでより

，

であり，(式5)に代入して

である．の切片は

だから，はを通る．

2曲線の共有点と接線

図 2: 2曲線の共有点と接線

(2)

におけるの接線はであり，この接線の切片は

である．一階微分は

だから，でのの増減表は以下のようになる．

表 1: 接線の切片の増減表

(1)よりであることから増減表のようになる唯一のがに他ならない． よって題意は示された．

この解答の誤りや分かりにくい点に気づきましたか？ GitHubで報告する