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京都大学 前期 2004年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 2004年 第6問 (解答解説)

📝 問題

を自然数とする． 個の箱があり， 1からまでの番号が付いている． どの箱にも玉が1個入っている． 番号1からまでの箱に入っている玉は白玉で， 番号の箱に入っている玉は赤玉である． 次の操作(＊)を， おのおののに対して， が小さい方から順番に1回ずつ行う．

  1. (＊)　以外の番号の個の箱から1個の箱を選び， その箱の中身と番号の箱の中身を交換する． (ただし，個の箱から1個の箱を選ぶ事象は，どれも同様に確からしいとする．)

操作がすべて終了した後， 赤玉が番号の箱に入っている確率を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

玉の交換操作の推移と最終的に箱$N+1$に赤玉が入る条件

図 1: 玉の交換操作の推移と最終的に箱に赤玉が入る条件

全ての操作の後，に赤が入っているのは，回目の操作後に赤の入っている箱をとして，回目でを選ぶ時である（）．となる確率は排反（回の操作で回もが選ばれない）を考えて，

である．だからもとめる確率は，回目のを選ぶ確率がであることと合わせて

である．

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