京都大学 後期 2006年 第5問 (解答解説)

【解答】

容器は底面半径高さの円錐を逆向きにしたものである． 水面の底からの高さの時の水面の面積として，題意の条件は

と書き表せる．

高さの時の円錐の半径は

だから，はこの半径を持つ円の面積で

であり，(式1)に代入して

を得る．両辺積分して，積分定数をとおくと

初期条件はの時，だから

なので，

となる．となるときのは従って，

である． (答)

【解説】

問題文からは，先にを求めてから微分方程式を立ててほしい，という意図を感じる． しかしながら，その方法は一回積分をしてから方程式を立てるため，少し回り道であるため 今回の回答では直接排出速度について式を立てる方針とした．

一応題意に沿ってやるとどうなるかを見せるため，以下を出すことで微分方程式を導出しよう． 時刻での高さとすると，は高さの円錐の体積から高さの円錐の体積を引いたものであり，

と表せる． 両辺で微分すると

ここに題意よりを代入して

を得る．これは(式5)と同じ方程式であるから，以下全く同様に解ける．

以上の導出でわかるように，いちいちを出すよりも直接水面の面積を利用して立式した方が早いということが理解できる．