東京工業大学 前期 1993年 第4問 (解答解説)

【解答】

次多項式をとおく．題意（とおく）を帰納的に示す．

まずの時はとおけて，だから

となり，たしかに任意の整数 に対しとなっては成立する．

そこで以下でのの成立を仮定し，での成立を示す． について，が全て整数だとする． 新しく

とおくと，は次以下の多項式であってかつが全て整数である．従って帰納法の仮定から，任意のに対して

が成り立つ．が全て整数だから，(式2)を繰り返し用いれば任意のに対してとなり，でもは成立する．

以上より数学的帰納法により題意は示された．