東京工業大学 前期 1993年 第1問 (解答解説)

【解答】

，との原点以外の交点，とおく．は各々，の2次方程式，の解のうちのもので，

である．この様子を下図に示す．

題意の面積は

だから，(式1)を代入してこの面積の比は

である． (式3)がによらないので，がによらない定数になるための条件を考えれば良い．両辺以上だから2乗して良く，

を得る．これはについての次方程式だから，がによらない定数である時，(式4)が任意ので成立するのは(式4)がについての恒等式である時である．

そこでの次および次についての係数が両辺で等しいから比較して，

であることが必要．まず(式5)より

である． ついで(式5)を(式6)に代入すると

である．ここで題意よりだから両辺で割って

である．

逆に(式7),(式9)の時，(式3)に代入すると

で，たしかには一定で十分である．(式7)をみたすは必ず存在するから，求める条件は(式9)で

である．