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東京工業大学 前期 1993年 解答解説 このページの閲覧数
#微分
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東京工業大学 前期 1993年 第3問 (解答解説)

📝 問題

4次曲線 上の動点がの範囲で動く． でのの接線ととの交点を，，とする． ただし，とする．

  1. ，をとで表せ．

  2. 3点，，が接線上，，の順になるための条件を求めよ．

  3. 線分の長さをとする．をとで表せ．

  4. のとき，の最大値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

$C: y=f(x)$ の概形と接線 $\ell_t$，交点 $P, Q, R$ の位置関係

図 1: の概形と接線 ，交点 の位置関係

とおくと一階微分はだからでの接線は

となる．との交点の座標はとを連立した四次方程式

の解である．このうちは点に対応し，

の解がに対応する．以下この左辺をとおく． (式3)の判別式として，から

となり，(式3)は2実解（重解含む）を持つ．したがって(式3)の2解がで， 解と係数の関係から

である．

(2)

だから，題意の条件は（重なる場合をのぞいて）

である．すなわち(式3)の解がに1つ，に1つある時である． この条件は

である．

(3)

の傾きはだから位置関係は下図のようになる．

ピタゴラスの定理による線分長 $L$ の導出

図 2: ピタゴラスの定理による線分長 の導出

したがってピタゴラスの定理から

(4)

(3)よりはのみに依存するのでこれをとおく． から

である．(式8)より

だから，

と展開できる．を代入してさらに整理して

両辺にをかけると

簡単のため

とおいて代入すると

だから，の増減表は以下のようになる．

表 1: の増減表

したがって，はで最大値をとる．その最大値は

である．従ってより

が求めるの最大値である．

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