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東京工業大学 前期 1993年 解答解説 このページの閲覧数
#三角関数 #極限 #積分
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東京工業大学 前期 1993年 第2問 (解答解説)

📝 問題

を自然数とする．

  1. を求めよ．

  2. を示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

与えられた式の分子分母にをかけて整理すると

が求める極限値である．

(2)

与えられた定積分

を数学的帰納法で示す．

まずの時，三倍角の公式から

で成立する．

そこで以下での成立を仮定し，での成立を示す． 加法定理を使ってを分解すると

である．各項計算すると

仮定

だから，(式4)に代入して

より，でも(式2)は成立する．

以上より数学的帰納法により題意は示された．

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