東京工業大学 前期 1992年 第4問 (解答解説)

【解答】

与えられた関数

について考える．このグラフは以下のようになる．境界部分は白丸は含まず，黒丸のみ含む． また，関数列はを満たす．

(1)

題意の漸化式および(式1)より

である．

具体的にを計算すると(式1),(式2)より

である．全く同様にを計算すると

であり，グラフを図示すると下図のようになる．

(2)

まずの一般形を考えよう．(1)以下同様に考えるとに対して

であることを数学的帰納法に示す．では成立するから，以下での成立を仮定してでの成立を示す． 仮定および(式2)よりは

だから，とあわせて，

となってでも(式6)は成立する． よって数学的帰納法により任意ので(式6)が成立する．

さて，以下題意の極限値を計算しよう．自然数が

を満たすとしてとおく．新しく

とおくと求めるべき極限は

である．を考えるのではより大きいとして良く，で考えれば良い．

さて なる自然数に対し整数が存在して，

と書ける．についての不等式を整理すると

である．の時が整数だから(式14)の両辺は整数で1つ差である．だから右側の等号が成立するしかなく，この時(式13)よりである．したがって，(式11)においてで和をとれば良い．(式13)よりだから

である．またよりでもある．以上まとめて

である．両辺はでに収束するからはさみうちの定理より求める極限値は

である．