東京工業大学 前期 1994年 第4問 (解答解説)

【解答】

の時，与えられた関数は

である．は(式1)でも成立するので，結局に対して(式1)で良い．

(1)

題意の条件に(式1)を代入すると

である．とするとだからが必要である． これを満たすはの三通りだから以下それぞれの場合について考える．

以上から，もとめるは

で，平面に図示すると下図黒丸となる．

(2)

の場合を考える．(式1)を代入すると

だから，とおくと

がなりたつ．

ここで，とおくと，(式6)は

である．またはの単調増加関数だから

となる．この両辺はではについての単調増加関数である．

として，

であり，この上下端に関してより，なる自然数に対して

となる．よって異なる2自然数に対してとなることはない．

従って(式7)，すなわち(式5)が成立するにはが必要である． (式6)よりこの時とすれば十分であり，も成立する．

以上から，ならば，となるので題意は示された．