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東京工業大学 前期 1994年 解答解説 このページの閲覧数
#図形と方程式 #微分
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東京工業大学 前期 1994年 第5問 (解答解説)

📝 問題

放物線上の点と，放物線上の点に対して，線分を考える． このとき線分の長さの最小値を求めよ．

✏️ 解答解説
【自動文字起こし・要確認】

【解答】

放物線 $f(x), g(x)$ と動点 $P, Q$ 間距離の最小化

図 1: 放物線 と動点 間距離の最小化

与えられた関数を

とおく．の座標を，とすると

である．従って

である．

ここでとすると，はの2次式の2実解だから判別式として，

であることが必要だが，これはから常に成立する．

そこで以下を用いて(式3)を表す． まず

だから，(式3)に代入して

である．

を固定するとこれはで最小値

をとる．この右辺をとおくと，一階微分は

だから増減表は以下のようになる．

表 1: の増減表

従ってでは最小値をとる．からこの時も最小で，その最小値は

である．

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