東京工業大学 前期 1976年 第3問 (解答解説)

【解答】

対称性から下図の 内で がうごく時のみを考える．

この時 と最も近い辺は である．そこで から に下ろした垂足を とし， を極，軸正方向を始線とする極座標で とおく（）．題意から，

となる．この時たしかに は 内にある．

以下面積を求める．対称性からもとめる面積 ， のうち 内のものを として，

である．具体的にを計算すると(式3)から

である．以下簡単のため とすると だから

である．ここでについて半角公式より

だから(式11)に代入して

となって，(式4)に代入して

である．

\medskip

【別解】

(式3)の方程式が放物線のものであることに気づけば，通常の座標系に映ることでより簡単に計算できる． の軌跡は， を焦点， を準線とする放物線で，その方程式は として

である．

よって上図斜線部の面積 は

と計算され，[解1] と同じく を得る．