東京工業大学 前期 1991年 第1問 (解答解説)

【解答】

は の中の素因数について，のうち大きくない方に等しい．明らかにだからである．

(1)

まずについてだから，である． 次にについて，だから，である．

(2)

(1)と同様にしては

とかける．ただしガウス記号は以下の最大の整数である．についての和は無限大までとるが，実際にはの段階で の時，

となるから，が非負での単調減少関数であることとあわせて，では全ての寄与はである．従って和はまでに制限してよく，

である．

ここでの性質から

だから，として足し合わせて(式3)を代入すると

である．

両辺でわって

この両辺は共にでに収束するから，はさみうちの定理から

である．