東京工業大学 後期 2011年 第2問 (解答解説)

【解答】

先に曲線の概形を求める． で は非負だから両辺二乗しても同値であって，

となり，は双曲線である． から, で, 求めるの概形は図1である．

(1)

はをで積分したものであり，

である． (答)

次には底辺，高さの三角形の面積であり，

である． (答)

(2)

(1)の結果から，与式は

となり，求めるべき極限値はである． (答)

【解説】

平面図形の問題．素直に条件を置いていけば良く，計算負荷も軽いので かなり簡単な問題だろう．

(2)は要するに，の漸近線であると曲線に囲まれた部分の面積が どのように振る舞うかというのを示す問題である．この様子を図2に示す． この問題から，ここの部分の面積が対数で発散していくということがわかる．