【解答】
関数を
とおく．
(1)
一階，二階微分は
であるから，増減表は表1となる．
表 1: の増減表
従って，グラフの概形は図1となる．
図 1: の概形．が変曲点となる．
(答)
(2)
での接線 は,(式2)から
であるから， と の共有点の個数は
の の解の個数にひとしい.
(式8)の左辺を とおき，の挙動から解の個数を求める．
の一階微分は
であるから，新しく
とおくと
となる．よっての挙動からの符号がわかる．
(式2)よりだから，
であり，の増減表は表2となる．
表 2: の増減表
従ってのグラフの概形は図2となる．
図 2: の概形.で最大値をとり，の値によっての零点の数が変化する．
以下の値によって場合わけする．
\underline{の時}
となるはただ一つである．
では, ではである．
また，の極限値は
である．
従っての増減表は表3のようになる．
表 3: の増減表
従って，の解の数はただ一つ．
\underline{の時}
となるはただ一つである．
それ以外のとき，である．
また，の極限値は
である．
従っての増減表は表4のようになる．
表 4: の増減表
よって，の解の数はただ一つ．
\underline{の時}
この時は以外にもう一つとなるがある．
これをとする．
また，の極限値は
である．
よっての増減表は表5となる．
表 5: の増減表
従って，の解の数は二つである．
以上三つの場合わけにより全ての場合は尽くされた．
従って求める共有点の個数は
である． (答)
(3)
から軸に下ろした垂足, と軸の交点, またとおく.
するとの座標は
となる．
題意の領域の概形は図3のようになる．
図 3: 求める面積の概形
求める面積は，図形の面積から，三角形の面積を減じたものに等しい．
すなわち
まず，について，
および
だから，
である．
次には部分積分法を繰り返し用いて
だから，(式28),(式32)を(式23)に代入して
が求める面積である． (答)
【解説】
典型的な平面図形の問題で，あまり捻ったところもないのでとっつきやすい．
(1)でグラフの概形と言われれた時は，二階微分を計算して変曲点まで求めるのが受験業界での暗黙の了解である．
(2)ではの形の関数が出てくるが，これは2004年度の2番でも題材になっている．
東工大の後期は比較的以前扱った題材が再度出てくることがあり，過去問演習の大切さを教えてくれる．
今回の解答ではちゃんと厳密に方程式の解の個数からを求めているが，
(1)のグラフの概形で変曲点まで求めているので，では一つ，でも一つ，それ以外では二つというのはすぐにわかる．
なので答えがわかっている状態で答案を作りにいっているという表現が適切だろう．
(3)は図形の面積を求める問題で，の形の積分を処理できれば問題ない．
この形はの微分を繰り返す形で部分積分を実行すれば良い．
ちなみに一般のの場合
となるので頭の片隅に入れておくと良い．ここで各項の符号は正負の順番で入れ替わり，あとはをかけた状態での次数を下ろして係数を足していけば良いので覚えやすい．
一例としての場合を示しておこう．
答えの簡単な検算として，の極限でがになることを確かめられる．
また，もう一方の極限ではしっかりとは無限大に発散する．
よって，両方の極限での挙動は合っているので一安心できる．
