東京工業大学 後期 2010年 第1問 (解答解説)

【解答】

(1)

表記の簡潔さのため，

とおくと，は

を満たす．

題意の漸化式は

となるから辺々足し引きして，

だから，およびは等比級数である． これと初期条件 , から， 一般項は

を求めるために辺々足して

を得る．(答)

(2)

表記の簡潔さのため, とする． 題意の条件から，である． さらに とすると (1) で得た一般項は

となる． 以下 が収束する条件をとの大小関係に注目して考える． , であることに注意する． まず のとき，との大小関係で場合分けすると

1. 　\underline{ の時}

   に於いて，

   だから， の収束条件は

   となる． と同時にこの条件を満たす はないから，この領域では収束しない．

2. 　\underline{ の時}

   まずの時，だから，より収束条件はである． この時より，は自動的に満たされる．

   次にの時，だから，よりは収束しない．

3. 　\underline{\textbf{ の時}}

   である．

   より収束条件は だが と同時にこの条件を満たすは存在しない． よってこの領域では収束しない．

次に の時，

より，が収束する条件は

である．

以上4つの場合分けから，もとめる条件は

である．(答)

【解説】

線形連立漸化式の問題．(1)は対称性に注目すればさほど難しくなく，(2)も丁寧に場合分けすれば解けるので難易度は低い．

このような連立漸化式は行列表現で考えると見通しが良い． 与えられた漸化式は行列表現で

だから，これを特には係数行列を対角化すれば良く，

だから，

となり，これを繰り返し持ちいれば

を得る．

または，を消去しての三項間漸化式として考える手もある． 漸化式より

だから，これをもう一つの漸化式に代入して（として）

を得る．特性方程式の解は

だから，これを解けば解答に合流する．