東京工業大学後期 2011年第1問 (解答解説)

【解答】

四面体の様子を図1に示す．四面体の体積をふた通りで表すことでとの関係を導く．まず，底面，高さの四面体と見なすことで，は

と表せる．

次に，内接円の半径，中心とすると，

と，つの四面体の体積の和として表せる．底面の三角形の面積はそれぞれ

だから，(式4)に代入して

である．従って，(式3)と(式4)が等しいので

と表せる． (答)

Pの体積, 四面体OABCの体積, その比とおく． (1)から

だから，は

をで動かした時のの最大値を求めれば良い．そこでの増減表を得るため，を求める．

まず，

とおくとで，

よっての符号はの符号にひとしい． (式20)を代入して具体的にの形を求めると

である．符号が反転するのはの部分のみである．従っての増減表は表1のようになる．

					()
		+		-

表 1: の増減表

よって求める最大値はの時で，この時(式20)より

だから

が求める最大値である．(答)

空間座標の問題だが，ゴリゴリ空間座標を用いた変形をするというよりは幾何学的なところから解いていけるのと，(2)がほぼただの計算なので，あまり空間図形感はない問題である．とはいえ(2)の計算コストがかなり高いので，問題の難易度としては低くないだろう．

(1)ではとの関係を求めるために，三角錐の体積をふた通りで表す．これはよく見る形なので知っておきたい．

また，三角形の面積公式を用いているのでこのところを復習しよう．三角形の面積を求める方法について，座標平面だけでなく座標空間でも汎用的に使えるものとしてベクトルを用いた表現がある．これは三角形をはるベクトルを用いて

と表すものである．証明は非常に単純であり，

より示された．

次に(2)についてだが，(1)で求めたの式を代入してひたすら変形していく．

において，括弧内が分子分母ともに次なので，最終的にはが支配的になってに収束するため，その前のどこかで極大値を取ることが予想できる．解答では愚直にを使って微分を計算していったが，それでもを新しくおいて見通しをよくする工夫を行なっている．元の式の形が複雑であまり簡単な方法はないと思われる．

計算が複雑なので間違っていないか心配になるが，求めたのでというのは幾何学的に考えても自然なので，それらしい結果が出ていると安心できる．また，答えがの時なのは最もらしく，この時三角形ABCが正三角形になっている．

参考までには図2のようになる．