東京工業大学後期 2009年第1問 (解答解説)

【解答】

, 球の中心とする．球の様子は図1のようになる．

線分が球に遮られるためには，線分と球の中心の距離が球の半径であるより小さければ良い．直線はパラメータ表示で

だから，CP上の点として，

となる．ここで簡単のため

とおいて，式変形を続けると

だから，の時最小値をとる．よって条件は

という楕円となり，これが求めるべき条件である．従って答えは

である．(答)

空間図形の問題．球体が点光源に対して作る影の形をとう問題で，我々は日常的な経験からこれが楕円になることを知っている．それを数学的に確かめなさいという面白い問題である．答案を見ればわかるように少し式変形が煩雑なので，答えが楕円になるという想定を持って変形を進めることで見通しが良くなるだろう．

との距離が以下となる条件を立式する際，解答では直線上の点との距離の最小値が以下となるように立式した．ほぼ同じだが別の方法として，点と直線の距離を直接求めに行く方法も紹介しよう．一定検算に利用できるだろう．から直線におろした垂線の足をとする．

はCO’のCPへの正射影ベクトルだから

であるから，

となる．各ベクトルは

だから，

この長さがよりも小さければ良いので，

が条件である．

を得る．さらに整理すると

となり，解答の最小値と一致する．

これでふた通りの方法でもとまった．導出を見ればわかるようにどちらも計算量には大差ないので，お好みで使い分けると良いだろう．