東京工業大学 後期 2007年 第2問 (解答解説)

【解答】

(1)

の一階微分は

である． では, より

が成立する．(答)

次にの二階微分は

である．ではより

となる．(答)

(式3),(式7)より，では上に凸で単調減少する． また，極限値は

だから，グラフの概形は図1である．

(2)

だから の一階微分は

である．(式3)およびより，

である．(答)

次にの二階微分は

であり，(式3),(式7)およびから

である．(答)

従って，は下に凸で単調増加する． また，極限値は

であるから，グラフの概形は図2である．

(3)

新しく

とおく． で が実解を持つ条件をもとめれば良い． の一階微分は(式11)より

である．

だが，よりあり得るのは複号が正の場合で

である．(1)よりは単調減少だから，これを満たすがただ一つあるから， それをとおくと， の増減表は表1となる．

ここで，

より，

である．したがって，増減表とあわせてが実数解を持つ条件は であり，求めるの条件は

となる． ただしが単調増加であることを利用した．(答)

【解説】

比較的単純な関数の問題．

(1)および(2)は単に二階微分まで計算するだけなので難しいところはない． 答案中でやっているように，(2)はとの関係を使えば多少計算量を低減できる．

(3)は「交点を持つ」を「方程式が解をもつ」と言い換えて，を消去した式（）の様子を考えるだけである． 増減表を書くとは極大値を持つことがわかるのでそれが以上をとると言い換えて条件を求めれば良い． 接する場合も含めて等号を入れているが，「交わる」なので人によっては等号なしとするかもしれない． 不安ならば答案にその旨記載すると良いだろう．