【解答】
自然数に対して
とおく．
(1)
(式1)およびは素数であることから，は各々でわり切れる．
したがって，, として
(式1)に代入して
と書ける．従ってはでわり切れる． (答)
(2)
背理法を用いて示す．
の素因数として,以外の素数 があると仮定する．
すると(1)と同様に，(式1)から
なる が存在する．
(式1)に代入すると
である．
したがって，がでわり切れるので， なるが存在する．
これを(式6)に代入して
を得る．が整数であるためには，がと互いに素であることから，
がを因数に持って，
なるがある．(式6)に代入すると，
はと互いに素だから，はを因数に持つ．
従ってがを因数に持つ．
だったから，結局がを因数に持つ．
一方，題意から ()の形の素因数はもたない．
これは矛盾．従って背理法より，となり，題意は示された． (答)
(3)
(1), (2)から， () とおける．
ただし(1)の結果および題意の条件より
である．
(式2)に代入して
だから，およびも同じくのみ素因数にもち，
と書ける．
(式11)に代入して
である．
これをみたすは(式10)の条件では
のみであり，この時
である．(答)
【解説】
東工大後期では珍しい純粋な整数問題．
(1)も(2)も肝となるのは，がある数を因数に持った場合，
やもを因数としてもち，結果としてやと紐づくはやを因数に持たないといけない，という事実である．
この点を少し具体的に書くと，を素因数分解して
と書けたとする．がで書けないといけないので，
において，
でないといけない．
同様にがで書けないといけないので，
において
でないといけない．
以上(式20),(式22)およびとが互いに素なので以外について
でないといけない．
題意の条件よりだから，これを満たすのはこれらが全ての場合である．
これが(2)である．
残りのは
を満たす．このうちを満たすのはのみであり，これが(1)(3)である．
