東京工業大学 後期 2006年 第1問 (解答解説)

【解答】

(1)

題意より，

である．,上の点は とおける．ただし

である．この様子を図1に示す．

とおくと，

より，一階微分は

と書ける． 分母は常に正であり，となるのは

の時である． 増減表は表1となる．

			最大

よって で は最大だから，の座標は

で与えられる.

ここからを消去すれば，題意の曲線の表示を得る． まず，の時, である． 次に の時から

であり， に代入して

ただし，の時はこの式は成り立たないから，である． この式はでも成立するから，求めるべき曲線の表示は

である．(答)

(2)

との方程式の連立解を求める． 楕円の式にを代入してを除去すると，

であり，この時，

である．以上から

である．(答)

(3)

は区間内で単調増加で， グラフ概形および領域は図3である．

以下，バームクーヘン積分法によってを軸周りに回転した回転体の体積を求める． の部分を軸まわりに回した 立体の体積は幅, 高さ, 長さの直方体で近似できるので, 求める立体の体積として，

である．一項目は

であり，二項目はと置換すると

だから，(式31),(式31)を(式29)に代入して

が求める体積である． (答)

【解説】

平面図形と回転体という東工大の定番問題．問題設定が比較的単純なため，東工大のこの手の問題にしては容易な方である． (1)ができれば(2)(3)はただ計算するだけなので，(1)を突破できるかがポイントとなる．

(1)の線分の長さは，の座標を与えれば決定できる一変数関数（）なので，まずはを固定した時のの最大値を与えるを求める． その上で軌跡を求めるにはからを消去しての関係式を得れば良い． が一変数関数なことと文字消去がだけなことから直線的に答えにたどり着ける． 答えが妥当なことはが極端なときを考えると，のとき，のときであることからそれらしいとわかる．

答案上工夫できる点があるとすれば，以下のような楕円が出てくるときに使える手法は検討の余地がある．

一つ目の方法として，この手の楕円が登場するときのテクニックである

なる変数変換が考えられる． これを使うと楕円を円

に変換できる． すると，はに変換され， この座標系でのの長さ

が最大の時，元の座標系でのの最大である． 残念ながらこの方法は今回問題を簡単にはしてくれない．

二つ目の方法として，楕円上の点をパラメータ表示することも考えられる． すなわちパラメータを用いて とおくと であって

と計算できるから，あとはこれを最大化するを求める． これは三角関数の合成を使えば容易に求まる．簡単のための変換をかけると

なるが存在する．ただしおよび

である．

したがっての範囲でのこの最大値はの時で

であり，したがってこの時のの座標は

および

であり，解答に合流する． このパラメータの置き方だとの微分が不要なので多少楽である．