東京工業大学 後期 2007年 第1問 (解答解説)

【解答】

表記の簡潔さのため

とおく．方程式について考える．

(1)

のグラフの概形を調べるため，一階微分を計算すると

だから，よりの増減表は表1となる．

	()		極大		極小

したがって， が 実数解を持つ条件は

と表せる．ただし，最終行でを利用した． 以下，(式6)を満たす整数を考える． まず，については任意であり，とのみ考えれば良い． 表記の簡潔さのため

とおくと，に対して値は以下のようになる．

これらの値は

という大小関係にあるから， に対応して(式6)を満たすをリストアップすると表3のようになる．

	無し
の数

したがって求める確率は

である．(答)

(2)

題意の自然数解を とおくと，ゆえ

だから，両辺絶対値を取ると

である．すなわちとの積がであることが必要である． まずはこの必要条件を満たすをに応じてリストアップする． に対して，より

であるから，この上限によって一定の制限があることに注意すると，一覧は表4となる．

これを満たすを一覧化すると

である．それぞれの組に対しては3通り（偶数か奇数）が対応するので，の場合の数は

通りであり，求める確率は

である．(答)

【解説】

整数と確率の融合問題． おそらくあまり綺麗な解法は存在せず，地道な数え上げが必要な問題である．