東京工業大学後期 2008年第2問 (解答解説)

【解答】

以下，

とおく．とおき，での最大，最小を与えるをそれぞれとすると，から，

なる不等式を満たす．両辺をで積分して

である．ここで両辺の積分は

と実行できるから，(式3)に代入して

を得る．について和をとって

である．両辺の和は区分求積法によって評価でき，のとき

だから，(式7)に代入して，挟み撃ちの原理から求める極限値は

である．(答)

典型的な積分と極限の問題．類題として1999年の第1問が挙げられるが，解法はほぼ同じなので過去問演習を行なっていた人にとってはボーナス問題と思われる．

こちらの解答では，1999年の第1問で別解として紹介した方法を採用している．解法の背景としてはそちらを参照されたい．