東京工業大学 後期 2003年 第2問 (解答解説)

【解答】

題意の直線は図のようになる．

さて，,をパラメータ表示するため，

を辺々引いて,

と は互いに素だから, として,

と表すことができる． ,が非負だから，に対する条件は

であり，従っては

と言い換えることができる．

ここで，ガウス記号を導入する． これは 以下の最大の整数を表すものとする. すると(式6)は

と書ける．

(1)

(式7)を用いてを計算すると

となり，題意は示された．(答)

(2)

簡単のため，

とおくと，が(式7)に等しいことを証明すれば良い．

以下，をで場合分けして考える．とする．

\underline{\textbf{の時}}

この時，とおいてと(式7)をそれぞれ計算すると

および

より，が成立する．

\underline{\textbf{の時}}

この時，とおいてと(式7)をそれぞれ計算すると

および

より，が成立する．

\underline{\textbf{の時}}

この時，とおいてと(式7)をそれぞれ計算すると

および

より，が成立する．

以上で全ての場合が尽くされ，

がしめされた．(答)

【解説】

答案中では，ガウス記号を用いて比較的綺麗に式変形を行った． ただ，この問題はそのような道具を導入せずとも，(式6)さえ出ていれば で場合分けすれば正解を導ける． 場合わけの数は増えてしまうが，計算量はあまり増えないので有力だ． 以下別解として示そう．

(1)

(式6)に注意して を で割ったあまりで場合分けする. として，

を得る．はとした時に該当し，このときいずれもはだけ増えるから， たしかに が成立する. よって題意は示された．

(2)

簡単のため

とおく. (1)と同様にをで割った余りで場合わけすると，

である． (式30),(式32)を比較することで， たしかに であることがわかる． 以上から題意は示された．