東京工業大学 後期 2002年 第2問 (解答解説)

【解答】

空間の原点, 円錐の頂点をとする． 円錐の概形は図1となる．

(1)

平面で考える． 線分 が 以外に と交わらないということは， の境界の値では，とが接するので，まずはこの場合を考える． この様子を図2に示す．

でのの接線の方程式は

であり，これがを通るので，

である． 従っての取り得る範囲はこれらのの時より点が側になる場合で，

である．(答)

(2)

Sの展開図上で線分PMとなる曲線をとする． PからMまでの最短経路は, PからMまで上通り, MからQまで直線MQを通る経路である．(*)

最短経路の長さとすると

である．

まず線分PMの長さを求める． Sの側面の展開図は図3である．

対称性から

として考える．

まず，PMの劣弧の長さは，より

だから，円錐の側面の長さがであることにも留意すると

となるので，展開図上のPMの長さは

となる．

次に，線分QMの長さを求める．これは各点の座標から，

となる．

以上(式9),(式11)を(式5)に代入すると，を与えた時の最短経路の長さは

となる． (1)および(式6)から，この関数の

での最小値をもとめにば良い．新しく

とおくと，半角および倍角の公式から

および

から，の変数をからに移して

となる． (式14)から

である．の一階微分は

である．この分母は常に正だから，の正負は分子の正負と等しい． そこで分子を因数分解すると

である．(式22)のの区間に注意して，

だから，の増減表は表1となる．

			最小

従って，求める最小値はの時で

である．(答)

【解説】

最後のの最小値を求める部分はいくつかやり方がある． いずれもこの形のまま計算するのは厳しく，なんらか新しい変数を置いてやることになるだろう． 今回の解答のように，を利用する方がとを対称に扱っていて計算は早い．

それを見るために，として求めてみよう． の動く範囲が(式6)だから，

である．(式21)に倍角公式を利用してで表すと

だから，一階微分は

となり，分母は常に正だからの符号は分子の符号に等しい．

だから. の増減表は表2となる．

したがって，は

で最小値

をとる.