東京工業大学 後期 2001年 第2問 (解答解説)

【解答】

, とおく ()と

である．の様子を図1に示す．

の面積が最大の時を考える． まず を固定して を動かすと，が最大になるのは 直線と直線が直交する時である．従って，

題意より，これがで成り立つから

が必要である．

全く同様に， を固定して を動かすと，が最大になるのは 直線と直線が直交する時である．従って，

題意より，これがで成り立つから

が必要である．

以上より

が必要である．

逆にこの時， が の面積の最大値を与えることを示す． まず の面積には必ず最大値が存在することに留意する． 最大値を与える は必要条件の導出に利用したのと同様の条件

を満たすから，具体的な座標(式1)を代入して

が成り立つ．ただし，最後の行でを利用した． 以下

とおくと，(式26)から

だから，一つ目の式を加法定理で展開して

両辺二乗して整理すると

ここでに注意すると

より変形を続けて

ここで，大括弧の中のの二次式の判別式は

より負だから，この二次式は常に正であり，(式38)の実数解は

のみである．この時(式28)より

である． また，より(式31)で複号負が採用される． すなわち

である． 以上の条件を満たすの組は

の二つである． 対称性からいずれの場合もの面積は等しくなるから， たしかに で の面積は最大となる． 以上から十分である．

よって，求める は

である．(答)

(2)

(式46)より の座標は

であり，座標が等しいことに注意する． そこでから軸に下ろした垂足をとおく．

従って，線分ABの長さは座標の差分に等しく，

である．

に正弦定理を用いると，外接円の半径は

である． ここで， よりであり， よりである． 従って

となるから，

である．

ここで，(式28)より

だから，

であり，(式56)に代入して求める外接円の半径は

となる．(答)

【解説】

平面図形の問題． 三角形ABCがどういう時に最大になるかを式に起こして考えられるかがポイントである． 二つの円が同心円上にあるので，このような三角形は, を満たすことに気づくと比較的少ない数式変形で条件を導ける．

の面積は

と計算できるものの，これ自体を使っていくのは少し大変だろう．

さて，三角形ABCが最大となる条件の部分だが， 点と直線の距離の公式から同様の結果を導くこともできるので紹介する．

を固定して を動かすと，が最大になるのは直線と点の距離が最大になる時である． 題意の条件よりこの時だから，直線の方程式は

だから，との距離は，点と直線の距離公式より

である．より，これが最大になるのは

が最小のとき．これはがと成す角の時である． ここで，ベクトルはと直交するベクトルであり， 従ってこの条件はに他ならない．よって解答と合流する． 以上で点と直線の距離公式による導出ができた．

この時だから，

より，

であることが必要である．これは解答と同じ値である．